MECÂNICA GENERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL [284]

G* = $\psi ^{*}$ = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\psi ^{*}$ $\psi$ ω $/ T / c} =$

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

A estatística de Kaniadakis (também conhecida como estatística κ) é uma generalização estatística baseada em uma nova entropia, nomeada entropia de Kaniadakis (ou entropia κ), desenvolvida pelo engenheiro greco-italiano Giorgio Kaniadakis em 2001,^[1] que surgiu como uma generalização relativística da entropia Boltzmann-Shannon.^[2]^[3]^[4]

A partir da otimização da entropia de Kaniadakis, é possível derivar uma coleção de distribuições de probabilidade consideradas as candidatas mais viáveis para explicar as distribuições estatísticas de cauda de lei de potência,^[5] observadas experimentalmente em vários sistemas complexos físicos,^[6] naturais^[7] e artificiais. Além disso, a estatística de Kaniadakis é amplamente utilizada no meio científico em diversas outras aplicações como física de reatores,^[8]^[9] geofísica^[10]^[11] e astrofísica.^[12]^[13]

Formalismo matemático

O formalismo matemático da estatística κ de Kaniadakis é gerado por funções κ-deformadas, especialmente a função κ-exponencial.

Função κ-exponencial

Gráfico da função κ-exponencial

\exp _{\kappa }(x)

para três valores diferentes de κ. A curva preta sólida correspondente à função exponencial ordinária

\exp(x)

(

\kappa =0

)

A exponencial de Kaniadakis (ou κ-exponencial) é uma generalização de um parâmetro da função exponencial ordinária, dada por:

\exp _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}+\kappa x{\Big )}^{\frac {1}{\kappa }}&{\text{se }}0<\kappa <1.\\[6pt]\exp(x)&{\text{se }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

com $\exp _{-\kappa }(x)=\exp _{\kappa }(x)$ .

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

O κ-exponencial para $0<\kappa <1$ também pode ser escrito na forma:

\exp _{\kappa }(x)=\exp {\Bigg (}{\frac {1}{\kappa }}{\text{arcsenh}}(\kappa x){\Bigg )}.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Os primeiros cinco termos da expansão de Taylor de $\exp _{\kappa }(x)$ são dados por:

$\exp _{\kappa }(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+(1-\kappa ^{2}){\frac {x^{3}}{3!}}+(1-4\kappa ^{2}){\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde os três primeiros são os mesmos da função exponencial ordinária.

Em mecânica estatística, a estatística Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição estatística de partículas materiais em vários estados de energia em equilíbrio térmico, quando a temperatura é alta o suficiente e a densidade é baixa suficiente para tornar os efeitos quânticos negligenciáveis. A estatística Maxwell–Boltzmann é consequentemente aplicável a quase qualquer fenômeno terrestre para os quais a temperatura está acima de poucas dezenas de kelvins.^[1]^[2]

O número esperado de partículas com energia $\epsilon _{i}$ para a estatística de Maxwell–Boltzmann é $N_{i}$ onde:

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde:

$N_{i}$ é o número de partículas no estado i
$\epsilon _{i}$ é a energia do estado i-ésimo
$g_{i}$ é a degenerescência do nível de energia i, o número de estados dos partículas (excluindo o estado de "partícula livre") com energia $\epsilon _{i}$
$\mu$ é o potencial químico
$k$ é a constante de Boltzmann
$T$ é a temperatura absoluta
$N$ é o número total de partículas

N=\sum _{i}N_{i}\,

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$Z$ é a função partição

Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$e^{(...)}$ é a função exponencial, sendo e o número de Euler

A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem sido aplicada especialmente à teoria cinética dos gases, e outros sistemas físicos, além de em econofísica para predizer a distribuição da renda. Na realidade a distribuição de Maxwell-Boltzmann é aplicável a qualquer sistema formado por N "partículas" ou "indivíduos" que interacambiam estacionariamente entre si uma certa magnitude $m$ e cada um deles têm uma quantidade $m_{i}$ da magnitude $m$ e ao longo do tempo ocorre que $\sum _{i=1}^{N}M=m_{1}+m_{2}+...+m_{N}$ .

$\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Limites de aplicação

Para um sistema de partículas quânticas, a hipótese de que $N_{i}$ seja substancialmente menor que $g_{i}$ para os estados diferentes do fundamental em geral não se cumprirá e é necessário recorrer-se à estatística de Bose-Einstein se as partículas são bosônicas ou à estatística de Fermi-Dirac se as partículas são fermiônicas.

As estatísticas de Bose–Einstein e Fermi–Dirac podem ser expressas como:

N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}\pm 1}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Assumindo que o valor mínimo de $\epsilon _{i}$ é bastante pequeno, se pode verificar que a condição na qual a distribuição de Maxwell-Boltzmann é válida é quando se cumpre que:

e^{-\mu /kT}\gg 1

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Para um gás ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvimento da equação de Sackur–Tetrode para demonstrar que:

\mu =\left({\frac {\partial E}{\partial N}}\right)_{S,V}=-kT\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $E$ é a energia interna total, $S$ é a entropia, $V$ é o volume, e $\Lambda$ é o comprimento de onda térmico de de Broglie. A condição de aplicação para a distribuição Maxwell-Boltzmann em um gás ideal resulta:

{\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

E_{n}

Em física, o fator de Boltzman é um fator de ponderação que determina a probabilidade relativa de um estado $i$ , num sistema com múltiplos estados em equilíbrio termodinâmico a temperatura $T$ .^[1]

e^{-{\frac {E_{i}}{k_{B}\,T}}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Onde $k_{B}$ é a constante de Boltzmann, e $E_{i}$ é a energia do estado $i$ . A relação das probabilidades dos estados é dada pela relação (quociente) de seus fatores de Boltzmann.

O fator de Boltzmann não é em si mesmo uma probabilidade, já que não está normalizada. Para normalizar o fator de Boltzmann e converter-lo numa probabilidade, deve-se dividi-lo pela soma $Z$ dos fatores de Boltzmann de todos os estados possíveis do sistema, o qual se denomina função de partição. Desta forma se obtem a distribuição de Boltzmann.

A partir do fator de Boltzmann é possível desenvolver a estatística de Maxwell-Boltzmann, a estatística de Bose-Einstein e a estatística de Fermi-Dirac que regem as partículas clássicas como também os bósons e férmions na mecânica quântica, respectivamente.

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Função κ-exponencial

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